12 décembre : probabilités et intuition.

Si le calcul de probabilités devient très rapidement délicat à réaliser "au feeling", il est même des cas qui choquent radicalement l'intuition.


*Bien connu, l'exemple des anniversaires est déjà surprenant : à partir de combien de personnes la probabilité pour que deux éléments du groupe aient la même date d'annivesaire dépasse-t-elle 50%? Sans aller jusqu'à s'écrier spontanément 183, on a tout de même tendance à s'attendre à un chiffre relativement élevé. Pourtant, il suffit de 23 personnes!


*Un peu plus élaboré, le plus célèbre est probablement celui du jeu des rideaux, ou dit "de Monty Hall", du jeu télévisé à son origine, que voici :
"Vous participez à un jeu télévisé somme toute fort simple : vous avez face à vous trois rideaux, dont deux cachent des lots sans valeurs (disons un costume de lapin, il faut bien tenter de divertir le pauvre homme échoué devant l'émission), mais dont le troisième dissimule une voiture. Le présentateur sait où se cache la voiture, et vous propose de choisir un premier rideau. Une fois votre choix fait, il ouvre un des deux rideaux restants et dissimulant un superbe costume de lapin.
C'est alors qu'arrive le problème : dans sa grande bonté, et parcequ'il a 50 minutes à tenir sur ce concept palpitant, il vous demande si vous souhaitez toujours garder votre rideau, ou échanger et prendre celui restant."

A priori, on serait tenté de dire que, l'un comme l'autre avait une chance sur trois d'être le bon au début, y'a pas de raison que ça ait changé, donc 50/50. Et pourtant, si vous prenez le parti de changer à chaque fois, vous gagnerez 2 fois sur 3!

Le meilleur moyen, je pense, pour comprendre ce résultat reste de faire un arbre, qu'une image expliquera mieux qu'un long texte (des chèvres remplacent les costumes de lapin ici : ) ) :




*Relativement proche, mais légèrement moins choquante je pense, un petit problème de tiroirs et de commodes :

Si un bijoutier possède 3 commodes, possédant chacune deux tiroirs, eux-mêmes contenant chacun une pierre précieuse. Dans une commode, on trouve deux rubis, dans une autre deux saphirs, et dans la troisième, un rubis et un saphir.
Si vous prenez une commode, ouvrez un tiroir au hasard et que vous y trouvez un rubis, quelle est la probabilité pour que l'autre tiroir contienne également un rubis?

Elle est cette fois encore de 2/3 et non pas 1/2 comme on peut le supposer si l'on suit un raisonnement du type "le rubis dévoilé élimine l'armoire contenant deux saphirs, il y a donc autant de chance que ce soit l'armoire à deux rubis que celle mixte". Le meilleur moyen de le voir est d'oublier l'armoire à deux saphirs, et de se dire que lorsque l'on tombe sur le rubis, il y a deux fois plus de chance pour qu'il provienne de l'armoire "à deux rubis" que de l'armoire mixte.


*Et enfin, une petite affaire de paris particulièrement surprenante.
On dit bien sûr d'un pari qu'il est gagnant si, suite à un grand nombre de parties, vous aurez gagné plus d'argent que n'en aurez perdu.

Jusque là, pas de problème. Mais le paradoxe de Monnier met en évidence un phénomène particulièrement surprenant :

On définit un tirage comme suit : on lance une pièce, si on obtient pile du premier coup, on tire 0. S'il faut deux lancers pour tomber sur pile, on tire 1. Si l'on obtient n faces avant d'avoir finalement un pile, on tire n.
Le pari 0 est le suivant : si c'est 0 qui sort, je perds un euro, si c'est 1 qui sort, je gagne 3 euros, sinon personne ne gagne rien.
Ce pari est bien sûr gagnant, puisqu'on a une espérance de -1/2+3*1/4=1/4
De même, on défini le pari 1 : si c'est 1 qui sort, je perds 4 euros, si c'est 2, je gagne 10 euros.
Et ainsi jusqu'au pari n : si c'est n qui sort, je perds 3^n+1 euros, si c'est n+1 qui sort, je gagne 3^(n+1)+1 euros.

Chaque pari est gagnant, c'est donc un bon moyen de gagner de l'argent sur le dos d'innoncents badauds. Mais pour peu que vous soyez trop cupide, vous voudrez gagner plus, plus vite (et sans travailler plus) et proposerez donc de faire tous ces paris simultanéments! Et bien mal vous en prendra puisque, paradoxalement, accepter simultanément une infinité de paris gagnants conduit ici à un pari perdant. Plus précisément, chaque fois, quelque soit l'entier qui sortira, vous perdrez 1 euro.

A noter que ce paradoxe a été depuis été "amélioré", si bien que l'on a réussi à créer des paris dont le gain moyen est de 1 pour chacun pris séparément, mais dont tout pari groupé conduit à... une perte d'argent infinie!


Voilà, j'ai pris le parti de ne pas inclure les démonstrations des résultats pour ne pas alourdir le texte, et ne sachant pas si le détail intéressera du monde, mais dans le cas contraire n'hésitez pas à les demander. J'espère avoir été à la fois clair et pas trop rébarbatif.

Sources principales : Les Inattendus mathématiques de Jean-Paul Delahaye, Les Enigmes de Shéhérazade de Raymond Smullyan, ainsi que mes divers professeurs de mathématiques du secondaires. L'arbre du problème de Monty Hall provient de Wikipédia.